Расчет консольной балки


Балка-онлайн SOPROMATu.NET

Шаг 1/3

Укажите тип балки и количество нагрузок:


Двухопорная балка

Двухопорная балка консоль слева

Двухопорная балка консоль справа

Двухконсольная балка

Заделка слева

Заделка справа

Количество распределенных нагрузок qi:   
Количество сосредоточенных сил Fi:
Количество внешних моментов Mi:

Единицы измерения (сила / длина):   кН, м   qℓ, ℓ   P, ℓ   M/ℓ, ℓ  
На главную Инструкция Новый расчет


Расчёт балки бесплатно онлайн

Добро пожаловать! Данный онлайн-калькулятор предназначен для расчёта балки и позволит построить эпюры внутренних силовых факторов (изгибающих моментов, поперечных и осевых или продольных сил), рассчитать реакции в опорах. В итоге формируется отчёт с готовым решением. Удачи!

12
  • Операции

  • Объекты

      В данном расчёте не задано ни одного объекта. Для создания объектов модели перейдите в раздел "Операции"

Расчёт балки, рамы бесплатно онлайн

Лимит расчётов:

Добро пожаловать! Данный онлайн-калькулятор предназначен для расчёта балки или рамы и позволит построить эпюры внутренних силовых факторов (изгибающих моментов, поперечных и осевых или продольных сил), рассчитать реакции в опорах. В итоге формируется отчёт с готовым решением. Удачи!

Расчет прогиба балки методом начальных параметров

В этой статье будут рассмотрены основные нюансы расчета прогибов, методом начальных параметров, на примере консольной балки, работающей на изгиб. А также рассмотрим пример, где с помощью универсального уравнения, определим прогиб балки и угол поворота.

Теория по методу начальных параметров

Возьмем консольную балку, нагруженную сосредоточенной силой, моментом, а также распределенной нагрузкой. Таким образом, зададимся такой расчетной схемой, где присутствуют все виды нагрузок, тем самым, охватим всю теоретическую часть по максимуму. Обозначим опорные реакции в жесткой заделке, возникающие под действием внешней нагрузки:

Выбор базы и обозначение системы координат

Для балки выберем базу с левой стороны, от которой будем отсчитывать расстояния до приложения сил, моментов, начала и конца распределенной нагрузки. Базу обозначим буквой O и проведем через нее систему координат:

Базу традиционно выбирают с левого краю балки, но можно выбрать ее и справа. Тогда в уравнении будут противоположные знаки, это может пригодиться в некоторых случаях, упростит  немного решение. Понимание, когда принимать базу слева или справа, придет с опытом решения задач на метод начальных параметров.

Универсальное уравнение прогибов для балки

После введения базы, системы координат и обозначении расстояний а, б, в, г записываем универсальную формулу, с помощью которой, будем рассчитывать прогиб балки (вертикальное перемещение сечения K, находящегося на свободном торце балки): Теперь поговорим об этой формуле, проанализируем так сказать:

  • E – модуль упругости;
  • I – момент инерции;
  • Vk – прогиб сечения K;
  • VO – прогиб сечения O;
  • θO – угол поворота сечения О.

Не буду приводить вывод этой формулы, не хочу отпугивать читателей, продвинутые студенты могут ознакомиться с выводом самостоятельно в учебнике по сопромату. Я только расскажу об основных закономерностях этого уравнения и как записать его для любой балки постоянного сечения.

Итак, изучаем эту формулу с лева направо. В левой части уравнения обознается искомый прогиб, в нашем случае Vk, который дополнительно умножается на жесткость балки — EI:В уравнении всегда учитывается прогиб сечения балки, совпадающего с нашей базой EIVO:

Также всегда учитывается угол поворота сечения совпадающего с выбранной базой. Причем, произведение EIθO всегда умножается на расстояние от базы до сечения, прогиб которого рассчитывается, в нашем примере — это расстояние г.

Следующие компоненты этого уравнения учитывают всю нагрузку находящуюся слева от рассматриваемого сечения. В скобках расстояния от базы до сечения отнимаются расстояния от базы до соответствующей силы или момента, начала или конца распределенной нагрузки.

Скобка, в случае с сосредоточенными силами, возводится в 3 степень и делится на 6. Если сила смотрит вверх, то считаем ее положительной, если вниз, то в уравнении она записывается с минусом:

В случае с моментами, скоба возводится во 2 степень и делится на 2. Знак у момента будет положительный, когда он направлен почасовой стрелке и отрицательным, соответственно, когда против часовой стрелки.

Учет распределенной нагрузки

Теперь поговорим о распределенной нагрузке. Как уже говорилось, в уравнении метода начальных параметров должно учитываться начало и конец распределенной нагрузки, но конец ее совпадает с сечением, прогиб которого мы хотим вычислить, поэтому в уравнение попадает только ее начало.

Причем важно, даже если бы в этом сечении была бы сила или момент, их бы так же не учитывали. Нас интересует все, что находится слева от рассматриваемого сечения.

Для распределенной нагрузки скобочка возводится в 4 степень и делится на 24. Правило знаков такое же, как и для сосредоточенных сил:

Граничные условия

Чтобы решить уравнение нам понадобятся еще кое-какие данные. С первого взгляда в уравнении у нас наблюдается три неизвестных: VK, VO и θO. Но кое-что мы можем почерпнуть из самой схемы. Мы знаем, в жесткой заделке не может быть никаких прогибов, и ни каких поворотов, то есть VO=0 и θO=0, это и есть так называемые начальные параметры или их еще называют граничными условиями. Теперь, если бы у нас была реальная задача, мы бы подставили все численные данные и нашли перемещение сечения K.

Если бы балка была закреплена с помощью шарнирно подвижной и неподвижной опоры, тогда мы бы приняли прогибы в опорах равными нулю, но угол поворота в опорах был бы уже отличен от нуля. Более подробно об этом рассказано в другой моей статье, посвященной методу начальных параметров на примере балки на двух опорах.

Чуть не забыл про еще одну величину, которую часто требуется определять методом начальных параметров.  Как известно, при изгибе, поперечные сечения балок помимо того, что перемещаются вертикально (прогибаются) так еще и поворачиваются на какой-то угол. Углы поворота и прогибы поперечных сечений связаны дифференциальной зависимостью.

Если продифференцировать уравнение, которое мы получили для прогиба поперечного сечения K, то получим уравнение угла поворота этого сечения:

Пример расчета прогиба балки

Для закрепления пройденного материала, предлагаю рассмотреть пример с заданными численными значениями всех параметров балки и нагрузок. Возьмем также консольную балку, которая жестко закреплена с правого торца. Будем считать, что балка изготовлена из стали (модуль упругости E = 2·105 МПа), в сечении у нее двутавр №16 (момент инерции по сортаменту I = 873 см4). Рассчитывать будем прогиб свободного торца, находящегося слева.

Подготовительный этап

Проводим подготовительные действия, перед расчетом прогиба: помечаем базу O, с левого торца балки, проводим координатные оси и показываем реакции, возникающие в заделке, под действием заданной нагрузки:

В методе начальных параметров, есть еще одна особенность, которая касается распределенной нагрузки. Если на балку действует распределенная нагрузка, то ее конец, обязательно должен находиться на краю балки (в точке наиболее удаленной от заданной базы). Только в таком случае, рассматриваемый метод будет работать. В нашем примере, нагрузка, как видно, начинается на расстоянии 2 м. от базы и заканчивается на 4 м. В таком случае, нагрузка продлевается до конца балки, а искусственное продление компенсируется дополнительной, противоположно-направленной нагрузкой. Тем самым, в расчете прогибов будет уже учитываться 2 распределенные нагрузки:

Расчет прогиба

Записываем граничные условия для заданной расчетной схемы:

VA = 0 при x = 6м

θA = 0 при x = 6м

Напомню, что нас, в этом примере, интересует прогиб сечения O (VO). Для его нахождения составим уравнение, для сечения A, в которое будет входить искомая величина:

В полученном уравнении, у нас содержится две неизвестные величины: искомый прогиб VO и угол поворота этого сечения — θO:

Таким образом, чтобы решить поставленную задачу, составим дополнительное уравнение, но только теперь, не прогибов, а углов поворотов, для сечения A:Из второго уравнения, найдем угол поворота:После чего, рассчитываем искомый прогиб:

Таким образом, свободный торец такой балки, прогнется практически на 6 см. Данную задачу, можно решить несколько проще, если ввести базу с правого торца. В таком случае, для решения потребовалось бы лишь одно уравнение, однако, оно было бы немного объемнее, т.к. включало реакции в заделке.

СОПРОМАТ ГУРУ. Расчет балки онлайн. Построение эпюр

Расчет статически-неопределимых систем Расчет методом конечных элементов Расчет опорных реакций Расчет опорных реакций Построение эпюры моментов (М) Построение эпюры поперечных сил (Q) Построение эпюры продольных сил (N)

Расчет балки. Примеры решения с пояснениями

Рассмотрим примеры решения задач на расчет консольных и двухопорных балок при изгибе.

Подбор сечений

Деформации и перемещения

Наш короткий видеоурок по расчету реакций опор балки:

Данный вид расчетов, как правило, сводится к одной из следующих задач:

и выполняется в следующем порядке:

  1. Определяются опорные реакции;
  2. Строятся эпюры внутренних поперечных сил и изгибающих моментов;
  3. Определяется опасное сечение балки,

после чего производится ее окончательный расчет.

Другие примеры решения задач >

Сохранить или поделиться с друзьями



Расчет консольной балки

| calcresource

Теоретические основы

Содержание

Введение

Консольная балка - одна из самых простых конструкций. Он имеет только одну опору на одном из концов. Опора представляет собой так называемую фиксированную опору , которая запрещает все движения, включая вертикальные или горизонтальные смещения, а также любые вращения. Другой конец не поддерживается, поэтому он может свободно двигаться или вращаться. Этот свободный конец часто называют наконечником кантилевера.

Консоль имеет только одну неподвижную опору.

Удаление единственной опоры или установка внутреннего шарнира превратят консольную балку в механизм: тело движется без ограничений в одном или нескольких направлениях. Это нежелательная ситуация для несущей конструкции. В результате консольная балка не обеспечивает избыточности с точки зрения опор. Если произойдет локальный сбой, вся конструкция рухнет. Структуры такого типа, которые не предлагают избыточности, называются структурами критических или определителей .Напротив, конструкция, которая имеет больше опор, чем требуется для ограничения ее свободного движения, называется избыточной или неопределенной структурой. Консольная балка - определяющая конструкция.

Допущения

Статический анализ любой несущей конструкции включает оценку ее внутренних сил и моментов, а также ее прогибов. Обычно для плоской конструкции с плоской нагрузкой интересующими внутренними воздействиями являются осевая сила N, поперечная поперечная сила V и изгибающий момент M.Для консольной балки, несущей только поперечные нагрузки, осевое усилие всегда равно нулю, при условии, что прогибы небольшие. Поэтому осевыми силами часто пренебрегают.

Результаты расчетов на этой странице основаны на следующих предположениях:

  • Материал однороден и изотропен (другими словами, его характеристики одинаковы во всех точках и в любом направлении)
  • Материал линейно эластичный
  • Нагрузки прикладываются статически (они не меняются со временем)
  • Поперечное сечение одинаковое по всей длине балки
  • Прогибы небольшие
  • Каждое поперечное сечение, которое изначально является плоским, а также перпендикулярно продольному ось, остается плоской и перпендикулярной отклоненной оси.Это тот случай, когда высота поперечного сечения значительно меньше длины балки (в 10 и более раз), а также поперечное сечение не является многослойным (не сечение сэндвич-типа).

Последние два предположения удовлетворяют кинематическим требованиям теории пучка Эйлера-Бернулли, которая здесь также принята.

Условные обозначения

Для расчета внутренних сил и моментов при любом разрезе сечения балки необходимо условное обозначение. Здесь приняты следующие значения:

  1. Осевая сила считается положительной, когда она вызывает растяжение детали.
  2. Сила сдвига положительна, когда она вызывает вращение детали по часовой стрелке.
  3. Изгибающий момент является положительным, когда он вызывает растяжение нижнего волокна балки и сжатие верхнего волокна.

Эти правила, хотя и не являются обязательными, но достаточно универсальны. Другой набор правил, если следовать им последовательно, также даст те же физические результаты.

Условное обозначение положительного знака для внутренней осевой силы, N, поперечной силы, V и изгибающего момента, M
Обозначения
  • E: модуль упругости материала (модуль Юнга)
  • I: момент инерции поперечного сечения вокруг упругой нейтральной оси изгиба
  • L: общая длина балки
  • R: опорная реакция
  • d: прогиб
  • M: изгибающий момент
  • V: поперечная поперечная сила
  • \ theta: наклон

Консольная балка с равномерно распределенной нагрузкой

Нагрузка w распределена по пролету консоли, имеет постоянную величину и направление.Его размеры - сила на длину. Общее количество силы, приложенной к консольной балке, равно W = w L, где L - длина балки. В зависимости от обстоятельств может быть задана либо общая сила W, либо распределенная сила на длину w.

Следующая таблица содержит формулы, описывающие статический отклик консольной балки при равномерно распределенной нагрузке w.

Консольная балка с равномерно распределенной нагрузкой (UDL)
Количество Формула
Реакции:

R_A = wL

M_A = - {wL ^ 2 \ over 2 }

Концевые уклоны:

\ theta_A = 0

\ theta_B = - {wL ^ 3 \ over 6EI}

Предельный изгибающий момент: M_u = - {wL ^ 2 \ over 2}
Предельная сила сдвига: V_u = w L
Предельный прогиб: d_u = \ frac {w L ^ 4} {8 EI}
Изгибающий момент при x: M (x) = - w {(Lx) ^ 2 \ over 2}
Сила сдвига при x: V (x) = w (Lx)
Прогиб при x: d (x ) = \ frac {wx ^ 2 (6L ^ 2 - 4Lx + x ^ 2)} {24 EI}
Наклон в точке x: \ theta (x) = - \ frac {wx (3L ^ 2 - 3Lx + x ^ 2)} {6 EI}

Консольная балка с точечной силой на конце

Сила сосредоточена в одной точке, расположенной на свободном конце балки.Однако на практике сила может распространяться на небольшую площадь, хотя размеры этой области должны быть существенно меньше, чем длина кантилевера. В непосредственной близости от приложения силы ожидаются концентрации напряжений, и в результате отклик, предсказываемый классической теорией балки, может быть неточным. Однако это только местное явление. По мере удаления от места расположения силы результаты становятся действительными в силу принципа Сен-Венана.

Следующая таблица содержит формулы, описывающие статический отклик балки кантилевера под действием сосредоточенной силы P, приложенной к наконечнику.2 (3L-x)} {6EI} Наклон в точке x: \ theta (x) = - \ frac {Px (2L - x)} {2EI}

Консольная балка с точечной силой в произвольном месте

Сила сосредоточена в одной точке, в любом месте по длине консоли. Однако на практике сила может распространяться на небольшую площадь. Однако, чтобы считать силу сосредоточенной, размеры области приложения должны быть существенно меньше длины балки. В непосредственной близости от силы ожидаются концентрации напряжений, и в результате отклик, предсказываемый классической теорией балки, может быть неточным.Однако это только локальное явление, и по мере удаления от места расположения силы расхождение результатов становится незначительным.

В следующей таблице содержатся формулы, описывающие статический отклик консольной балки под действием сосредоточенной силы P, приложенной на случайном расстоянии a от неподвижной опоры.

900 Наклон конца
Консольная балка с точечной нагрузкой в ​​произвольном положении
Количество Формула
Реакции:

R_A = P

M_A = -Pa

900 :

\ theta_A = 0

\ theta_B = - {Pa ^ 2 \ over 2EI}

Предельный изгибающий момент: M_u = -Pa
Предельное усилие сдвига: V_u =
Предельный прогиб: d_u = {Pa ^ 2 (3L-a) \ over 6EI}
Изгибающий момент в x: M (x) = \ left \ {\ begin {align} - & P (ax) &, x \ le a \\ & 0 &, x> a \ end {align} \ right.2 (3x - a) \ over 6EI} &, x> a \ end {align} \ right.
Наклон в точке x: \ theta (x) = \ left \ {\ begin {align} - & {Px (2a - x) \ over 2EI} &, x \ le a \\ & \ theta_B & , x> a \ end {выравнивается} \ right.

Консольная балка с точечным моментом

В этом случае момент прилагается в одной точке балки в любом месте пролета. На практике это может быть силовая пара или элемент на кручении, соединенный не в плоскости и перпендикулярно балке.

В любом случае область приложения момента должна распространяться на небольшую длину консоли, чтобы ее можно было успешно идеализировать как сосредоточенный момент в точке. Хотя в непосредственной близости от области применения ожидается, что результаты, предсказанные с помощью классической теории пучка, будут неточными (из-за концентраций напряжений и других локализованных эффектов), предсказанные результаты становятся совершенно достоверными, когда мы удаляемся, как заявил Св. -Венантный принцип.

В следующей таблице содержатся формулы, описывающие статический отклик консольной балки под действием сосредоточенного момента M точки, приложенного на расстоянии a от неподвижной опоры.

Консольная балка с острием момента
Количество Формула
Реакции:

R_A = 0

M_A = M

Торцевые уклоны: \ theta_A = 0

\ theta_B = \ frac {M a} {EI}

Предельный изгибающий момент: M_u = M
Предельное усилие сдвига: V_u = 0
Предельное прогиб: d_u = - {Ma (2L-a) \ over 2EI}
Изгибающий момент в x: M (x) = \ left \ {\ begin {align} & M &, x \ le a \\ & 0 &, x> a \ end {align} \ right.2} {2 E I} &, x \ le a \\ & - \ theta_B \ left (x- {a \ over2} \ right) &, x> a \ end {align} \ right.
Наклон в точке x: \ theta (x) = \ left \ {\ begin {align} & \ frac {M x} {EI} &, x \ le a \\ & \ theta_B &, x> а \ конец {выровнено} \ право.

Консольная балка с переменной распределенной нагрузкой

Нагрузка распределяется по длине консоли, имеющей линейно изменяющуюся величину, начиная от w_1 на неподвижной опоре и заканчивая w_2 на свободном конце.Размеры w_1 и w_2 - сила на длину. Суммарная сила, приложенная к балке, равна W = {L \ over2} (w_1 + w_2), где L - длина кантилевера.

Значения w_1 и w_2 могут быть присвоены произвольно. Первое не обязательно должно быть меньше второго. Они могут принимать даже отрицательные значения (одно или оба).

Если w_1 = 0, формулы в следующей таблице соответствуют треугольной распределенной нагрузке с возрастающей величиной (пик на вершине).

Если w_2 = 0, формулы в следующей таблице соответствуют треугольной распределенной нагрузке с уменьшающейся величиной (пик на неподвижной опоре).3} {24EI}

где:

w_x = w_1 + {(w_2-w_1) \ over L} x

Консольная балка с трапециевидным распределением нагрузки плитного типа

Это типичное распределение нагрузки для консольных балок, поддерживающих плиту. Распределение выглядит как прямая трапеция, с увеличивающейся частью рядом с неподвижной опорой и постоянной частью с величиной, равной w, на оставшейся длине, вплоть до вершины. Размеры w - сила на длину.Общее количество силы, приложенной к балке, равно W = w (L-a / 2), где L - длина консоли, а a - длина, близкая к неподвижной опоре, где распределение нагрузки варьируется (треугольное).

В следующей таблице содержатся формулы, описывающие статический отклик консольной балки при трапециевидном распределении нагрузки от плиты, как показано на схеме выше.

Консольная балка с трапециевидным распределением нагрузки (от плиты)
Кол-во Формула
Реакции:

R_A = w \ left (L- {a \ over 2 } \ right)

M_A = - {w \ over 6} \ left (3L ^ 2 - a ^ 2 \ right)

Концевые уклоны:

\ theta_A = 0

\ theta_B = - \ frac {w (4L ^ 3 - a ^ 3)} {24EI}

Предельный изгибающий момент: M_u = - {w \ over 6} \ left (3L ^ 2 - a ^ 2 \ right)
Предельная сила сдвига: V_u = w \ left (L- {a \ over 2} \ right)
Предельное отклонение: d_u = \ frac {w (15L ^ 4 - 5La ^ 3 + a ^ 4)} {120EI}
Изгибающий момент в x: M (x) = \ left \ {\ begin {align} & xR_A + M_A- {wx ^ 3 \ over 6a} &, x \ ле a \\ & - {w \ over 2} (Lx) ^ 2 &, x> a \ end {align} \ right.3} {6EI} &, x> a \ end {align} \ right.

Консольная балка с частично распределенной равномерной нагрузкой

Нагрузка распределяется на часть длины консоли с постоянной величиной w, в то время как оставшаяся длина разгружается. Размеры w - сила на длину. Общее количество силы, приложенной к балке, равно W = w \ left (L-a-b \ right), где L - длина консоли, а a, b - длины без нагрузки с левой и правой стороны балки, соответственно.

В следующей таблице приведены формулы, описывающие статический отклик консольной балки при частично распределенной равномерной нагрузке.

Консольная балка с частично распределенной равномерной нагрузкой
Количество Формула
Реакции:

R_A = wL_w

M_A = - wL_w \ left (a + {L_w \ left 2} \ right)

Концевые уклоны:

\ theta_A = 0

\ theta_B = - \ frac {w (L_b ^ 3- a ^ 3)} {6 EI}

Ultimate изгибающий момент: M_u = M_A
Предельная сила сдвига: V_u = V_A
Предельный прогиб: d_u = \ frac {w \ left (3L ^ 4 - 8L ^ 3 b + 6L ^ 2 b ^ 2 - 4L a ^ 3 + a ^ 4 - b ^ 4 \ right)} {24 EI}
.

Что такое консольная балка?

перейти к содержанию

Искать:

  • Программное обеспечение